Android TV向けのプライムビデオアプリは公開自体はされているものの、国内では「4K BRAVIA」などの一部機種ではインストールできないという仕様となっています。
逆に言えばAndroidTV向けのAPK自体は存在するのでそれを持ってくれば普通に動きます。
ダウンロードするもの
Android TV向け「Prime Video」のAPKファイルはGooglePlayのミラーサイト「Aptoide」でダウンロードします。

Prime Video - Android TV 5.2.19-googleplay-armv7a Download Android APK
Download Prime Video - Android TV for Android on Aptoide right now! No extra costs. User rating for Prime Video - Android TV: 2.88 ★
インストール手順
どうにかしてAPKをMi Box Sに送りインストールします。
GoogleDriveにアップロードしてファイルマネージャからインストールしたり、USBメモリ経由でインストールしてもOKです。
Mi Box Sの場合USBポートがあるのでUSBメモリにAPKファイルを入れて、ファイルマネージャからインストールするのが簡単だと思います。
コメント欄
[…] 「Mi Box S」にAndroid TV用「Amazon PrimeVideo」アプリをインストールする方法&… […]
はじめまして。
こちらを参考にアマゾンプライムビデオをインストールしました。
インストーラーのフレーム移動が出来なくて何度かやり直しをしましたが、4,5度目のトライでなんとかインストール出来ました。
ありがとうございます。